电动助力转向系统的建模与仿真分析

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电动助力转向系统的建模与仿真分析
[摘要] 在建立电动助力转向系统的数学模型和状态空间模型的基础上，对系统进行稳定性分析，并对系统模型进行仿真分析，分析电动助力转向系统的转向动态特性和路面干扰对于转向系统的影响，进而提出电动助力转向系统的阻尼控制方法。
关键词: 汽车 电动助力转向 状态空间 仿真
1 概述
由于动力转向系统具有转向操纵轻便、灵活，汽车设计时对转向器结构形式选择的灵活性增大，同时可以吸收路面对轮胎产生的冲击等优点，自20 世纪50 年代以来，在国外汽车上得到采用。但是，传统的液压动力转向系统在汽车行驶的时候需要消耗一定的能量，同时，它增加了液压油泵、液压缸、油管和一些辅助装置，还存在液压油的泄漏问题，对环境造成一定的危害。随着电子控制技术的发展，电子控制液压动力转向系统应运而生，该系统的某些性能要优于传统的液压动力转向系统，但它仍然无法克服液压动力转向系统的某些固有的缺陷。电子控制电动助力转向系统属于另一种形式的动力转向系统，该系统根据汽车的转向状态，通过电子控制单元控制电动机直接驱动转向机构，使汽车的转向轮发生偏转。该系统不直接利用发动机动力，只有在需要转向的时候才由电动机提供动力，不转向的时候不消耗能量。电动机使用的动力来自于蓄电池，省去了液压油泵、液压缸、油管等装置，结构紧凑，重量轻。另外，该系统可以通过软件的方法实现汽车在不同车速下获得不同的静态助力特性，提高驾驶员转向时的路感。
2 系统数学模型的建立
电动助力转向系统结构如图1 所示，主要包括转向柱、减速机构、齿轮齿条和助力电动机，以及ECU
控制单元，这里建立的转向系统动力学方程为：
转向柱： （1）
输出轴： （2）
齿条： （3）
电动机： （4）

式中s J 为转向柱、转向盘的转动惯量， s B 为转向柱的阻尼系数， s K 为扭杆的刚性系数， s q 为转向柱的旋转角， h T 为作用在转向盘上的转向扭矩， e J 为减速机构的转动惯量， e B 为减速机构的阻尼系数，e q 为输出轴的旋转角，G 为蜗轮蜗杆减速器的减速比， w T 为作用在输出轴上的反作用扭矩， r m 为小齿轮及齿条质量， r b 为齿条的阻尼系数， r K 为等效弹簧的弹性系数， r x 为齿条的位移， d F 是路面的随机信号， m I 是电枢电流， m B 是电动机粘性摩擦系数， m K 为电动机和减速机构的刚性系数， m J 是电动机惯性矩， m q 是电动机转角， p r 为小齿轮半径。
由于小齿轮和输出轴之间是通过一个双万向节连接的（如图2），它们两者之间有如下关系：

  (5）
式中p 为小齿轮转角，， 分别是两万向节的夹角。
假定为等速万向节， ，所以 p  e，而 ，联立方程（2）和（3）得：
（6）
（7）
（8）
其中 是减速机构、小齿轮和齿条等的当量质量，  是减速机构、小齿轮和齿条等的当量阻尼系数。
对该助力转向系统控制的目的就是使得电动机的目标电流为：
（9）
式中Ka 为的定义的助力增益，它和汽车的车速有关，描述了汽车在不同车速下转向系统的助力特性，
T sen 为传感器检测到的扭矩。
对于助力增益值的大小，可以根据车辆的实际需要设定。转向助力增益的选取和系统的稳定性以及转向路感密切相关，要获得理想的助力特性，转向助力增益的计算和选取非常重要。这里，定义了不同车速下转向助力增益的选取，在汽车高速行驶时，选取较小的助力增益值以获得较好的转向路感，而在低速时，转向沉重，选取较大的助力增益值，以减轻驾驶员的作用力，实现转向系统的助力作用。本文所述的转向助力增益分别为1，2，4，6，8 五个速度区域范围。
3 状态空间模型的建立
假定各个状态变量为  ，把各变量代入上
述微分方程，可以得到
（10）
y Cx  Du（11）
这里状态变量  
控制输入为  
（12）
(13)
(14)
(15)
(16)
为了分析系统的稳定性， 首先分析系统的能观性和能控性。验算能控性矩阵 ，可以求得该矩阵的秩为6，因此该系统是可控的。验算能观性矩阵 ，可以求得该矩阵的秩为5，因此该系统是可观的。
下面分析转向系统的稳定性，分别求解当转向助力增益值取1，2，4，6，8 时该反馈控制系统闭环极
点的特征根，求解结果如表1 所示。
很显然，所有的特征根的值均具有负实部，因此，助力增益按如上取值均能使转向系统稳定的工作。
4 系统仿真模型的建立
该仿真模型中有转向机构模块，电动机模块，脉宽调制（PWM）器和脉宽调制变换器等效模块，非线性模块和控制器模块。在该控制模块中包括一个驱动电动机的驱动电路，它由四个开关元件构成，其形式为H 桥式场效应晶体管（MOSFET），根据电动机驱动信号控制MOSFET 的占空比来控制电动机的电压或电流的大小和方向。脉宽调制器和PWM 变换器的传递函数根据其工作原理，当控制电压U a 改变时，PWM 变换器的输出电压要到下一个周期才会改变，因此，脉宽调制器和PWM 变换器合起来可以看成是一个滞后环节，它的延时最大不超过一个开关周期T，当整个系统的开环频率特性截止频率满足 式时，可以将滞后环节看成一阶惯性环节。因此，脉宽调制器和PWM 变换器的传递函数可以近似看成
（17）
式中 K PWM =U d/U a——脉宽调制器和PWM 变换器的放大系数，该模型中取为1；
U d ——PWM 变换器的输出电压；
U a ——脉宽调制器的控制电压；
T ——开关周期，这里我们取为1/20000s。
对于永磁直流电动机，在电流和电压之间存在如下关系：
（18）
式中Ke 是电动机的反电动势常数， R 是电动机电枢电阻， L 是电动机电枢电感， I 为电动机电流。
因此对等式两边求拉普拉斯变换得到  ，很容易求得电流、电压和电动机转速之间的关系，整个电动助力转向系统的仿真模型如图3 所示。

图3 电动助力转向系统的仿真模型
系统仿真参数如下：
转向柱的转动惯量s J ＝0.0012（ 2 m kg ），转向柱的阻尼系数s B ＝0.261 ( m N s rad 1 )，刚性系
数s K ＝115（ 1 rad m N ），电动机刚性系数m K ＝125（ 1 rad m N ），电动机转动惯量m J ＝0.0004704
（ 2 m kg ），电动机粘性摩擦系数m B ＝0.003339（ s rad m N 1 ），减速机构、小齿轮和齿条等的当
量质量32 r M kg ，减速机构、小齿轮和齿条的当量阻尼系数r B ＝653.203（ s N ），减速比G ＝7.225；
小齿轮半径p r ＝ 0.007783 （ m ） ， 弹性系数r K =91061.4 ) / ( m N 。电动机的反电动势常数
e K =0.1( s rad V 1 )，电动机电磁扭矩T K ＝0.1( 1 A m N )，电枢电阻R ＝0.1（）。
5 系统仿真分析
由于电动助力转向系统转向过程是一个动态的过程，因此设定当传感器检测的转矩大于1Nm 时电动机才提供助力，这样保证了电动机不会频繁的启动和换向，保护了电动机，同时也利于获得较理想的助力特性。由于转向柱存在阻尼和惯量，因此测得的转矩和作用在转向盘上的扭矩之间有一个偏差，反映在助力特性曲线（如图4 所示）上就是车速较高时，当转向盘扭矩达到6Nm 时，电动机的助力转矩将提前保持不变，车速较低时，当转向盘转矩达到6.5Nm 时电动机助力转矩才保持不变。

如图5 所示是转向盘转角和齿条位移关系曲线图，从该曲线我们可以看到，转向盘转角和齿条位移是成正比关系的，说明该助力转向系统具有很好的跟踪性，仿真结果表明：此系统的线角传动比约为0.0078m/rad＝48.984mm/r。

当驾驶员松开转向盘，地面给转向系统一个冲击，这时，转向盘就会出现抖动，从图6 的仿真结果可以看到，当转向系统的阻尼较小的时候，转向盘抖动比较大，相反，增大系统的阻尼，转向盘的抖动就可以很快的衰减，因此，当地面冲击较大的时候，可以采用阻尼控制的方法，增加系统的阻尼来衰减由于地面不平度引起的转向盘的抖动。

6 结论
本文通过对电动助力转向系统模型的仿真研究，得到如下结论：
(1) 汽车在不同车速下行驶可以得到不同的助力特性，可以获得高速行驶时良好的转向路感和低速行驶时驾驶员的转向轻便性。
(2) 从转向盘转角和齿条位移关系曲线图可以看出，该转向系统具有良好的跟踪性，系统阻尼对由于路面不平度引起的振动具有很好的衰减作用，因此可以在特定频段内应用主动阻尼控制方法增加系统阻尼，减小车辆行驶时汽车转向盘的激烈抖动。

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