电机（三）——永磁同步电机矢量控制（FOC)

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一、矢量控制背景


       矢量控制理论由德国西门子公司的F.Blaschke于1971年提出，这是交流电机控制理论一次里程碑式的跨越。交流电机从此在直流电机高性能应用竞争中获得一隅之地，并最终形成席卷之势。矢量控制的基本思想是模仿直流电机的磁场定向方式。其原理为：以转子磁链方向作为旋转坐标系的参考方向，依据这个坐标系，将定子电流分解为与转子磁链同方向的定子电流励磁分量和与磁链方向正交的定子电流转矩分量。这两个分量相互正交，分别采用控制器控制。矢量控制可以得到精确的速度控制，良好的转矩响应，进而获得类似于直流电机的工作特性。但矢量控制需要进行较复杂的旋转坐标变换，磁链和转矩解耦控制依赖于对转子磁链的准确观测，在实际中控制效果随电机参数的变化而变化。因此矢量控制的实现需要选用较高性能的数字信号处理器、高精度的光电码盘转速传感器和适当的参数变化补偿算法。

1.1基础知识铺垫

（1）三个基本定则

左手定则

       位于磁场中的载流导体，会受到力的作用，力的方向可按左手定则确定，如图1所示，伸开左手，使大拇指和其余四指垂直，把手心面向N极，四指顺着电流方向，那么大拇指所指方向就是载流导体在磁场中的受力方向。



图1.左手定则

       力的大小 ?=??????(?) ，其中B为磁感应强度（T），I为电流（A），L为导体的有效长度（m），F为力的大小（N）， ? 为B和I的角度。

右手定则

       在磁场中运动的导体因切割磁感线会感生出电动势E，见图2所示：



图2.右手定则

       大小为 ?=??????(?) ，v为导体的运动速度（m/s），B为磁感应强度（T），L为导体的有效长度（m），? 为B和I的角度。

安培定则

       用右手握住通电螺线管，使四指弯曲与电流方向一致，那么大拇指所指的那一端就是通电螺线管的N极。如图3所示。



图3.安培定则

（2）PWM（脉冲宽度调制）

交流电“整流”为直流电

直流电“逆变”为交流电

交流电“变压”为交流电

直流电“斩波”为直流电

PWM（Pulse Width Modulation），也叫脉冲宽度调制。PWM的波形是一种周期固定的、宽度可调的方波，有以下   

PWM的英文全称是"Pulse Width Modulation"，中文翻译为"脉冲宽度调制"。PWM的波形是一种周期固定的、宽度可调的方波。注意，这里有两个要点：

PWM方波的周期是固定的；

• 
  PWM方波的宽度是可以调节的。这里的宽度，是指方波中高电平持续的时间，显然，这个时间的范围是0~方波的周期，也就是周期时间的0~100%。这种改变方波脉冲宽度的技术，就是脉冲宽度调制（PWM）技术。比如下图4：T是波形的周期，它是固定值；在一个周期中，脉冲的宽度是不同的，有三种：25%、50%和75%，这就是通过PWM技术产生不同脉冲宽度的波形。
  

图4.不同脉冲宽度的波形

二、FOC控制原理


2.1矢量控制基本框图（来源：硬石科技）



图5.矢量控制框图

矢量控制实现步骤总结如下：

测量三相定子电流 ??,??,?? ，这三相电流有如下关系： ??+??+??=0 ，所以常常只测量两相电流根据上式求出第三相电流。

将3相电流变换至2轴系统。该变换将得到两轴电流 ?? 和 ?? ，它们是由测得的 ??,??,?? 值经过坐标变换而来的。从定子角度看， ?? 和 ?? 是相互正交的时变电流值。

按照控制环上一次迭代计算出的电角度（变换角），来旋转2轴系统使之与转子磁通对齐。 ?? 和 ?? 变量经过变换可以得到 ?? 和 ?? 。?? 和 ??为旋转坐标系下的正交电流。在稳态条件下，?? 和 ??是常量。

误差信号由?? 和 ??的实际值和各自的参考值进行比较获得：（1） ?? 的参考值控制转子的磁通；（2） ?? 的参考值控制电机的转矩；（3）误差信号是PI(D)控制器的输入；（4）控制器的输出为 ?? 和 ?? ，即要施加到电机上的电压矢量。

估算新的变换角，其中 、、、??、??、??、?? 是输入参数。新的角度可告知FOC算法下一个电压矢量的位置。

通过使用新的角度，可将PI(D)控制器的输出值逆变到静止参考坐标系。该计算值将产生下一个正交电压值 ?? 和 ?? 。

?? 和 ??经过逆变换得到3相值 、、??、??、?? 。该3相电压值可用来计算新的PWM占空比，以生成所期望的电压矢量。

2.2三相电流采样

       电机相电流的采样对于FOC控制来说是不可或缺的，在设计电机控制电路时，为了能够准确的采样到电机绕组中的电流值，需要提高电流采集的抗干扰能力。下表是常用的几种电流采样方式：

采样方式	原理	优点	缺点
电阻采样	测量电阻上的压降	成本低、响应快、精度高	采样电流较小
霍尔电流传感器	依据霍尔效应工作	精度高、线性度好、响应快	价格昂贵
电流互感器	依据电磁感应工作	可接入高压、超高压电路	体积较大、价格昂贵

       对于大部分的电机应用，双电阻电流采样是最常用的。电机控制器对电机的其中两相电流通过采样电阻进行采样，如图6所示，从采样电阻上获取的电压信号经过电压偏置和放大，输入到微处理器的A/D单元，从而得到其中两相电流，再根据基尔霍夫定律，三相电流矢量和为0，推算出第三相的电流的值。（来源：飘飘沙鸥）



图6.双电阻采样

       在电流采样的电路设计中，着重考虑运放电路的设计。运放芯片本身对共模干扰有抵抗作用，而在差模干扰的抵抗作用较弱，所以设计的时候要着重提高差分线上的差模抗干扰能力。如图7所示，C2电容就是为了提高抗差模干扰能力。差分线上的电阻（R34、R35）和反馈电阻（R39）应使用高精度的电阻，使得理论计算得到的参数是准确可靠的。然后与运放的输出连接的AD口引脚上并连一个RC电路滤掉高次谐波干扰和随机脉冲干扰，从而提升抗干扰能力。（来源：飘飘沙鸥）



图7.抗干扰设计

PS：共模干扰（也叫接地干扰），指任何载流导体与参考地之间的不希望有的电位差；差模干扰（也叫串模干扰），指任何两个载流导体之间的不希望有的电位差。

2.3坐标变换

       电动机内的气隙磁场是进行电磁能量传递的媒介，定、转子之间能量的传递正是通过气隙磁场进行的。不同类型的绕组进行变换时，需要保证它们产生的总磁动势不变。只有遵循这一原则，才能保证电动机能量转换关系不变。

       设三对称定子绕组的每相匝数均为 ?3 ，那么三相绕组产生的磁动势空间矢量在静止坐标系中采用复数可以表示为：

?3?2?=?3(??+????2?/3+????4?/3) （1）

      设两相静止绕组的每相绕组匝数为 ?2 ,两相绕组产生的磁动势空间矢量为：

?2?2?=?2(??+?????/2) （2）

      两相旋转绕组的每相绕组磁链匝数为 ?2 ，两相绕组产生的磁动势空间矢量为：

?2?2?=?2(??+?????/2)???? （3）

      令ABC绕组、 ?? 绕组产生的磁动势相等，即：

?3?2?=?2?2? （4）

     可以推导出下式：

(??+?????/2)=?3?2(??+????2?/3+????4?/3) （5）

       此处可根据等幅值或等功率原则进行系数确定。一般采用等幅值原则，这样推导的三相电流和两相电流的幅值是相等的。

      根据欧拉公式可以得到3s坐标系中的ABC电流与2s坐标系中的 ?? 电流的变换矩阵：

?3??>2?=23[1?1/2?1/203/2?3/2] （6）

?2??>3?=[10?1/23/2?1/2?3/2] （7）

      同理，根据 ?? 绕组与dq绕组产生的磁动势相等，有：

?2?2?=?2?2? （8）

      可以推导出：

??+?????/2=(??+?????/2)???? （9）

     从而推导出2s坐标系中 ?? 绕组的电流与2r坐标系中dq绕组的电流之间的变换矩阵：

?2??>2?=[?????????????????] （10）

?2??>2?=[?????????????????] （11）

（1）CLARK变换及其逆变换

       三相定子坐标系abc与两相定子坐标系 ?? 之间的变换，称为CLARK变换，也叫3/2变换。下式（12）是CLARK变换，下式（13）是CLARK逆变换。



图8.三相坐标系与两相静止坐标系

[????]=?3??>2??[??????]=23[1?1/2?1/203/2?3/2]?[??????] （12）

[??????]=?2??>3??[????]=[10?1/23/2?1/2?3/2]?[????] （13）

（2）PARK变换及其逆变换

       从静止两相正交坐标系 ?? 到旋转正交坐标系dq的变换，称为两相——两相旋转变换，也称PARK变换，简称2s/2r变换，其中s表示静止，r表示旋转。下式（14）是PARK变换，下式（15）是PARK逆变换。



图9.静止两相正交坐标系和旋转正交坐标系

[????]=?2??>2??[????]=[?????????????????]?[????] （14）

[????]=?2??>2??[????]=[?????????????????]?[????] （15）

2.4SVPWM

（1）SVPWM简述

SVPWM（Space Vector Pulse Width Modulation），实际上是对应于交流感应电机或永磁同步电机中三相电压源逆变器功率器件的一种特殊的开关触发顺序和脉宽大小的组合，这种开关出发顺序和组合将在定子线圈中产生三相互差 120° 的电角度、失真较小的正弦波电流波形。实践和理论证明，与直接的正弦脉宽调制（SPWM）相比，SVPWM的优点主要有：

SVPWM优化谐波程度比较高，消除谐波效果比SPWM好，实现容易，并且可以提高电压利用率；

SVPWM算法提高了电压源逆变器的直流电压利用率和电机的动态响应速度，同时减小了电机的转矩脉动等缺点；

SVPWM比较适合于数字化控制系统。

       SVPWM的主要思想是以三相对称的正弦波电压供电时三相对称电动机定子理想磁链为参考标准，以三相逆变器不同开关模式作适当的变换，从而形成PWM波，以所形成的实际磁链矢量来追踪其准确磁链圆。传统的SPWM方法从电源的角度出发，以生成一个可调频调压的正弦波电源，而SVPWM方法将逆变系统和电机看作一个整体来考虑，模型比较简单，也便于微处理器的实时控制。

       普通的三相全桥是由六个开关器件构成的三个半桥。这六个开关器件组合起来（同一桥臂的上下半桥的信号相反）共有8种安全的开关状态。其中000、111这两种开关状态在电机驱动中都不会产生有效的电流。因此称其为零矢量，另外6种开关状态分别是六个有效矢量。它们将360度的电压空间分为60度一个扇区，共6个扇区，利用这6个基本有效矢量和2个零量，可以合成360度内的任何矢量。

        当要合成某一矢量时先将这一矢量分解到离他最近的两个基本矢量，而后用这两个基本矢量去表示，而每个基本矢量的作用大小就利用作用时间长短去代表。用电压矢量按照不同的时间比例去合成所需要的电压矢量。从而保证生成的电压波形近似于正弦波。

        在变频电机驱动时，矢量方向是连续变化的，因此需要不断计算矢量作用时间。为控制器处理的方便，在合成时一般是定时器计算（如每0.1ms计算一次）。这样我们只要算出0.1ms内两个基本矢量作用的时间就可以了。由于计算出的两个时间的总和可能不是0.1ms（比这小），而那剩下的时间就按情况插入合适零矢量。由于在这样处理时，合成的驱动波形和PWM很类似。因此仍叫PWM，又因为这种PWM是基于电压空间矢量去合成的，所以又称为SVPWM。（来源：硬石科技）

（2）SVPWM基本原理



图10.逆变电路

        上图10是逆变电路图。设直流母线侧电压为 ??? ，逆变器输出的三相相电压为 、、??、??、?? ，其分别在空间上互差120度的三相平面静止坐标系上，可以定义三个电压空间矢量 、、??、??、?? ，它们的方向始终在各相的轴线上，而大小则随时间按正弦规律变化，时间相位互差120度。 ?? 为相电压的幅值； ?=2?? 为相电压的角频率，f为电源频率， ?=??=2??? 。下式（16）是三相电压的大小

??(?)=?????(?)=??2(???+????)

??(?)=?????(??2?3)=??2(??(??2?3)+???(??2?3)) （16）

??(?)=?????(?+2?3)=??2(??(?+2?3)+???(?+2?3))

下式（17）是三相电压的空间矢量

??(?)=??(?)??0

??(?)=??(?)??2?3 （17）

??(?)=??(?)??4?3

三相电压空间矢量相加的合成空间矢量 ??(?) 可以表示为：

??(?)=??(?)+??(?)+??(?)=??(?)??0+??(?)??2?3+??(?)??4?3

=32????? （18）

可见??(?)是一个旋转的空间矢量，幅值为相电压峰值的1.5倍，且以角频率?=2??按逆时针方向匀速旋转的空间矢量，由于逆变器三相桥臂共有6个开关管，设置开关函数 、、??(?=?、?、?) :

（上桥臂导通）；（下桥臂导通）??=1（上桥臂导通）；??=0（下桥臂导通） （19）

（、、）（??、??、??） 总共8总组合。下图11为空间电压矢量。



图11.空间电压矢量



图12.两电平三相电压源逆变器原理图

计算后得到8种组合下的空间电压矢量：



图13.8种组合下的空间电压矢量



图14.电压空间矢量图

       在每一个扇区，选择相邻的两个电压矢量以及零矢量，由伏秒平衡的原则合成每个扇区内的任意电压矢量。



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离散化后，可以得到：



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???? 为期望电压矢量，T为采样周期。

       由于三相正弦波电压在电压空间向量中合成一个等效的旋转电压，其旋转速度是输入电源角频率，等效旋转电压的轨迹如图14所示的圆形。所以要产生三相正弦波电压，可以利用以上电压向量合成技术，在电压空间向量上，将设定的电压向量由（100）位置开始，每一次增加一个小增量，每一个小增量设定电压矢量可以由该区中相邻两个基本非零向量与零电压向量予以合成，如此所得到的设定电压向量就等效于一个在电压空间向量平面上平滑旋转的电压空间向量，从而达到电压空间向量脉宽调制的目的。

（3）SVPWM算法合成

1.合成矢量????扇区N的判断

       空间矢量调制的第一步是判断由 、??、?? 所决定的空间电压矢量所处的扇区。假定合成的电压矢量落在第一扇区，则可知其等价条件如下所示：

0<??????(????)<60° （20）

其中

??=???????? （21）

??=???????? （22）

      由以上等价条件并结合矢量图几何关系进行分析，可以判断出合成电压矢量 ???? 落在第X扇区的充分必要条件：



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      可以看出参考电压所在扇区完全由 ?? 、 3????? 、 ?3????? 决定，所以可令：

?1=??

?2=(3??)/2???/2

?2=?(3??)/2???/2

      定义：U1>0，A=1，else A=0；U2>0，B=1，else B=0；U3>0，C=1，else C=0。令N=4C+2B+A，则可通过下表计算电压矢量所在的扇区



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2.基本矢量作用时间计算

以下为电压矢量处在第一空间时的作用时间推导，并由此得出6个扇区的作用时间推导。



第一扇区的情况推导



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        综合六个扇区的作用时间计算公式，可以由三个基本算式获得：



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代入表中公式，得到各扇区基本矢量作用时间：



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        所以可以根据上述公式中的U1、U2、U3判断合成矢量所在的扇区，然后查表得出两非零矢量的作用时间，最后得出三相PWM波占空比。由上式可知，当两个电压矢量作用时间为0时，一个PWM周期内非零电压矢量的作用时间最长，此时的合成空间电压矢量幅值最大，由下图15可知其幅值最大不会超过图中的正六边形边界。而当合成矢量落在该边界之外时，将发生过调制，逆变器输出电压波形将发生失真。



图15.SVPWM模式下电压矢量幅值边界

        在SVPWM调制模式下，逆变器能输出的最大不失真圆形旋转电压矢量为上图15中虚线正六边形的内切圆，其幅值为 32×23???=33??? ，即逆变器输出的不失真最大正弦相电压幅值为 33??? ，若采用三相SPWM调制，逆变器能输出的不失真最大正弦相电压幅值为 ???2 。显然SVPWM调制模式下的电压利用率更高，它们的直流利用率之比为 33???/???2=1.1547 。

       当电压矢量处于内切圆与外接圆之间时，计算得到的电压矢量所用时间之和大于PWM周期，发生过调制现象： ??+??>?? ，需要对矢量作用时间进行缩放：



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3.矢量切换时间计算

下表是7段式的开关切换顺序对照表



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定义切换时间中间量：



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       则各个扇区的矢量切换时间可以总结为下表：



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   PS:Ta、Tb、Tc为马鞍波，是各基本矢量的作用时间的，后续还需转化为占空比信号。

落叶纷飞

好的，关于永磁同步电机的矢量控制（FOC），我可以进行专业的回复。

矢量控制理论自1971年由F.Blaschke提出以来，为交流电机控制带来了里程碑式的变革。该理论的核心是模仿直流电机的磁场定向方式，通过精确控制定子电流的两个分量——励磁分量和转矩分量，实现交流电机的高性能控制。在永磁同步电机中，矢量控制能够实现精确的速度控制，以及快速的转矩响应，使电机运行如直流电机般平稳高效。但要实现矢量控制，需要复杂的算法和先进的控制系统。目前，这一技术已广泛应用于各类电机控制领域，尤其在新能源汽车、工业机器人等领域表现出色。

希望以上内容对您有帮助。