卡尔曼滤波器原理和matlab实现

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项目最近正好用上kalman滤波器，故整理一下kalman滤波器相关资料，网上有很多详细的kalman资料，参考如下：
1、https://zhuanlan.zhihu.com/p/34656822
2、https://blog.csdn.net/m0_37953670/article/details/89528002
由于项目处理的是一维信号，过滤噪点，故上面2篇文献足够完成项目

以其中的一篇参考资料为例：



卡尔曼滤波器的递归过程：

估计时刻k 的状态：
X(k) = AX(k-1) + Bu(k)
这里, u(k) 是系统输入，在项目中，一维输入信号A=1

计算误差相关矩阵P, 度量估计值的精确程度：
P(k) = A*P(k-1)*A’+ Q
这里, Q = E{ Wj^2 } 是系统噪声的协方差阵，即系统框图中的Wj的协方差阵, Q 应该是不断变化的，为了简化，当作一个常数矩阵。

计算卡尔曼增益, 以下略去 (k), 即 P = P(k), X = X(k)：
K = P C’ (C * P * C’ + R) -1
这里 R = E{ Vj^2 }, 是测量噪声的协方差(阵), 即系统框图中的 Vj 的协方差, 为了简化，也当作一个常数矩阵。由于我们的系统一般是单输入单输出，所以 R是一个 1x1的矩阵，即一个常数，上面的公式可以简化为:
K = P C’ / (C P * C’ + R)

状态变量反馈的误差量：
e = Z(k) – C*X(k)
这里的 Z(k) 是带噪声的测量,在项目中，一维输入信号C=1

更新误差相关矩阵P
P = P – K * C * P

更新状态变量：
X =X + Ke = X + K (Z(k) – C*X(k))

最后的输出：
Y = C*X

%卡尔曼滤波实例%测量房间温度，房间温度真实值为T=25度，一共测量两百个点N=200;  T=25;  size=[N,1]; %取温度预测值的方差为Q=1e-3,温度传感器的测量方差为R=0.36，即我们更相信预测值，而较少相信传感器测量值。Q=1e-3;  R=0.36;  T_mearsured=T+sqrt(R)*randn(size);%初始时刻温度的最优估计值为T_start=22.5度,温度初始估计方差为P_start=2T_start=22.5;  P_start=2;T_kalman(1)=T_start;  P_kalman(1)=P_start;%用_kalman的后缀表示最优估计值，用_pre的后缀表示预测值for k=2:N    %在进行温度预测时，因为温度是一个连续的状态，我们认为上一时刻的温度和当前时刻的温度相等，则有T(k)=T(k-1)。  T_pre(k)=T_kalman(k-1); % 估计时刻k 的状态  P_pre(k)=P_kalman(k-1)+Q; % 计算误差相关矩阵P, 度量估计值的精确程度  K(k)=P_pre(k)/(P_pre(k)+R); % 计算卡尔曼增益  T_kalman(k)=T_pre(k)+K(k)*(T_mearsured(k)-T_pre(k)); % 更新状态变量  P_kalman(k)=P_pre(k)-K(k)*P_pre(k); % 更新误差相关矩阵P end%画图figure();plot(T*ones(size),'g');hold onplot(T_mearsured,'b');hold onplot(T_kalman,'r');legend('温度真实值','温度测量值','Kalman估计值')



在项目上，关键的是获取到Q、R、P，这3个数据需要通过实验统计获取，代码可以直接复用，其中参数需要自己择优选择